bonjour je n'ai vraiment pas réussi c'est 2 exercice si une âme charitable passe par là je serai reconnaissant​

Réponse :

Bonjour, je vois que tu as eu un coup de main .

Explications étape par étape

exercice 1) Il faut calculer les dérivées secondes de f(x) ,

les solutions de f"(x) =0  sont les abscisses  des points d'inflexion

Pour calculer ces dérivées  f'(x) puis f"'x) tu appliques les formules vues en cours et que tu dois connaître.

(u*v)'=u'v+v'u  ; (u/v)'=(u'v-v'u)/v² et (e^u)'=u'*e^u

A) f(x)=(e^-x)/(x+1)

f'(x)=[ -(e^x)(x+1)-1*e^-x]/(x+1)²=(-x-2)e^-x/(x+1)²

f"(x)={[-1e^-x-e^-x(-x-2](x+1)²-2(x+1)(-x-2)e^-x}/(x+1)^4

Après développement réduction et simplification tu dois arriver à:

f"(x)=[(x²+4x+5)*e^-x}/(x+1)³

on note que x²+4x+5=0 n'a pas de solution et est tjrs> 0 le signe de f"(x)dépend du signe de x+1

si x<-1, f"(x)<0 et la courbe est concave

si x>-1, f"(x) >0  et la courbe est convexe

injecte f(x) dans ta calculatrice pour vérifier

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B) f(x)=(x+1)e^-x² définie sur R

f'(x)=1(e^-x²)-2x(x+1)e^-x²= (-2x²-2x+1)e^-x²

f"(x)=(-4x-2)(e^-x²)-2x(-2x²-2x+1)e^-x²

on factorise e^-x²et après développement et réduction on arrive à

f"(x)=(4x³+4x²-6x-2)*e^-x²

les solutions de f"(x)=0 (éventuels points d'inflexion) sont les solutions de

4x³+4x²-6x-2=0 ou 2x³+2x²-3x-1=0

On note que x1 =1 est une solution évidente  et notre équation s'écrit

(x-1)(ax²+bx+c)=0

en effectuant la division euclidienne littérale j'ai trouvé

(x-1)(2x²+4x+1)=0

si tu ne sais pas faire ce type de division fais par comparaison des coefficients.

les solutions de 2x²+4x+1=0 via delta sont x2=(-2-V2)/2=-1,7 (environ) et

x3=(-2+V2)/2=-0,35 (environ)

ces valeurs x1, x2, et x3 sont les abscisses des points d'inflexion

On dresse un tableau de signes de f"(x) pour déterminer les courbures de f(x)

x             -oo              -1,7                 -0,35                       1                        +oo

x-1                    -                    -                           -               0          +            

2x²-4x+1          +           0       -             0           +                          +

f"(x)                   -            0      +             0           -               0          +

f(x) est concave sur ]-oo;-1,7[U]-0,35; 1[

f(x)  est convexe sur ]-1,7;-0,35[U]1;+oo[

Nota : dans ta rédaction mets les valeurs exactes de x2 et x3  et non les valeurs décimales arrondies que j'ai calculées pour les  positionner dans le tableau.

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exercice 2)

1)f(t)=a*e^(-t/5) +b sur [0; +oo[

la dérivée f'(t)=-(a/5)e^(-t/5)

on nous dit que (-a/5)e^(-t/5)+(1/5)[a*e^(-t/5)+b]=4

soit b/5=4   donc b=20

f(t)=a*e^(-t/5) +20

on sait que f(0)=1000 f

f(0)=a*e^0+20=1000 comme e^0=1    a=980

f(t)=980e^(-t/5)+20

2) dérivée f'(t)=(-980/5)e^(-t/5)

on note que f'(t) est toujours <0 donc f(t) est décroissante

quand t tend vers +oo,  e^(-t/5) tend vers 0 et f(t) tend vers 20° (température ambiante)

3)Pour ouvrir le four sans risque il faut que la température  soit <70°

Il reste à résoudre l'inéquation f(t)<70

soit 980e^(-t/5)<50

e^(-t/5)<50/980 ou e^(-t/5)<5/98

on passe par le ln

-t/5<ln5-ln98

donc t>(ln5-ln98)*(-5) ou t>5(ln98-ln5)

t>14,9 heures

15 heures après l'arrêt du four on pourra l'ouvrir

(nota dans ma réponse d'hier soir il y avait une étourderie)