Bonjour, besoin d'aide pour deux petites questions : Soit g la fonction définie sur R par g(x)=4x²-3x-1 1) Vérifier que g(x)=4(x-3/8^)²-25/16 2)Justifier que, p

bjr

exercice de lycée ou vous allez faire peur aux collégiens :)

merci donc d'éditer vos paramètres dans votre profil et passer de collège à lycée..

revenons à nos moutons

Soit g la fonction définie sur R par g(x) = 4x²-3x-1

1) Vérifier que g(x) = 4 (x - 3/8)² - 25/16

ce qui est la forme canonique de g(x) - nous permet de trouver l'extremum de la fonction donc à savoir faire ..

g(x) = 4x²- 3x - 1

on factorise la 1ere partie de la fonction par 4

soit g(x) = 4 (x² - 3/4x) -  1

on remarque que (x² - 3/4x) est le début du développement de

(x - 3/8)²

mais si on développe (x - 3/8)² on aura x² - 3/4x + (3/8)² ; il faut donc retrancher ces (3/8)² de trop et on aura

g(x) = 4 [(x - 3/8)² - (3/8)²] - 1

le reste n'est plus que du calcul pour arriver au résultat demandé soit

g(x) = 4 [(x - 3/8)² - 9/64) -1

on redéveloppe la 1ere partie

g(x) = 4 (x - 3/8)² - 9/16 - 1

g(x) = 4 (x - 3/8)² - 25/16

2)Justifier que, pour tout x ∈ ]-infini;-1/4] ∪ [1;+infini[ g(x) ≥ 0 et pour tout x ∈ [-1/4;1], g(x) ≤ 0.

donc étude du signe de la fonction..

g(x) = 4x²- 3x - 1

toujours le même raisonnement à connaitre :

calcul du discriminant et des racines qui devraient être -1/4 et 1

Δ = (-3)² - 4*4*(-1) selon ton cours   (b² - 4ac)

  = 9 + 16 = 25 = 5²

x' = (3 + 5) / 8 = 1

x'' = (3 - 5) / 8 = -1/4

tableau de signes

x               -∞               -1/4              1              +∞

x-1                       -                 -                +

x+1/4                   -                 +               +

g(x)                     +                 -               +

on a bien le résultat demandé - lecture de la dernière ligne.

de mémoire, on apprend que si un polynome = ax² + bx + c

avec a positif.

polynome > 0 en dehors des racines et < 0 à l'intérieur des racines