Bonsoir, J'aurais besoin d'aide s'il vous plaît pour ce dernier exercice pour ma grande sœur qui est en Terminale.

Réponse :

Bonjour, pour ta grande soeur. (j'en déduis que tu n'es pas en terminale donc  que tu ne peux pas l'aider)

Explications étape par étape

f(x)=1(x²+x-2)

1) f(x) est une fonction quotient  elle n'est donc pas définie par les valeurs de x qui annulent le diviseur (division par 0 impossible)

x²+x-2=0     delta=9  solutions x=-2 et x=1

Df=R-{-2; 1}

2) dérivée: f(x) est de la forme u/v sa dérivée est donc (u'v-v'u)/v²avec

u=1   u'=0

v=x²+x-2   v'=2x+1

f'(x)=-(2x+1)/(x²+x-2)²=(-2x-1)/(x²+x-2)

f'(x)=0 pour (-2x-1)=0  soit  x=-1/2

si x<-1/2, f'(x)>0 et si x>-1/2, f'(x)<0

3)limites aux bornes du domaine

si x tend vers -oo f(x) tend vers 0+

si x tend vers -2(avec x<-2), x² est>4 donc x²+x-2 tend vers 0+ et f(x) tend vers +oo

si xtend vers -2  (avec x>-2)  x² est<4 donc x²+x-2 tend vers 0-  et f(x) tend vers -oo

si x tend vers 1 (avec x<1)   x² est<1donc x²+x-2 tend vers 0- et  f(x) tend vers -oo

si xtend vers1 (avecx>1) x² est>1 donc x²-x-2 tend vers 0+ et f(x) tend vers +oo

si x tend vers+oo f(x) tend vers 0+

On note que la droite y=0 est une asymptote horizontale et les droite x=-2 et x=1 sont des asymptotes verticales

4)tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x       -oo                          -2                  -1/2                      1                      +oo

f'(x)...................+..................II.......+...............0........-.................II.........-...............

f(x)..0+............C...........+ooII-oo......C.......-9/4.....D..........-ooII+oo.......D.........0+

f(-1/2)=(-1/2)²-1/2-2=1/4-1/2-2=-9/4

II=valeurs interdites  pur lesquelles f(x) et f'(x) ne sont pas définies

C=croissante et D=décroissante