J’ai vraiment besoin de votre aide, on considere la.suite (Un) definie par: Un= 5n-3 / 2n+1 1.Montrer que la suite est croissante 2. Montrer que pour tout n€IN,

Réponse:

Bonjour. Pour montrer qu'une suite est décroissante il faut faire Un+1-Un.

Il faut réutiliser le résultat de la première question pour répondre à la deuxième.

Explications étape par étape:

Un+1 = (5(n+1)-3)/(2(n+1)+1)

=(5n+5-3)/(2n+2+1)

=(5n+2)/(2n+3)

Donc Un+1-Un =(5n+2)/(2n+3) - (5n-3)/(2n+1)

Pour additionner/soustraire deux fractions il faut mettre au même dénominateur : quand on ne voit aucun lien entre les deux dénominateurs on peut utiliser le produit des deux :

(5n+2)/(2n+3) = ((5n+2)(2n+1))/((2n+3)(2n+1))

On a multiplié par (2n+1) en haut et en bas

=(5n*2n+5n*1+2*2n+2*3)/(2n*2n+2n*1+3*2n+3*1)

On a développé

=(10n^2+9n+6)/(4n^2+7n+3)

On peut faire la même chose avec (5n-3)/(2n+1) en multipliant par (2n+3) des deux côtés. On aura alors deux fractions au même dénominateur qu'on peut soustraire. Le nominateir et dénominateur seront positifs donc Un+1-Un est positif donc la suite est croissante.

2) Comme la suite est croissante Un est toujours plus grand ou égal au le premier terme U0= (0-3) (0+1)=-3 donc Un>=-3

Enfin 5n-3 = 2.5*(2n+1) plus quelque chose :

En effet 2.5*(2n+1)=5n +2.5 donc

5n-3 = 2.5*(2n+1)-5.5

On divide par (2n+1) et on trouve

Un = (5n-3)/(2n+1) = 2.5 - 5.5/(2n+1)

On voit donc bien que Un est strictement plus petit que 2.5 et on a donc prouvé ce qu'il fallait