Bonjour ! Je bloque pour développer cette expression : f'(x) = [tex]\frac{4x + (x^{2} + 1)^{2}}{(x^{2} + 1)^{2}}[/tex] Je dois arriver à : [tex]\frac{(x+1)P(x)}

Réponse :

f '(x) = (4 x + (x²+1)²)/(x² + 1)²

       = (4 x + x⁴ + 2 x² + 1)/(x²+1)²

       = (x⁴ + 2 x² + 4 x + 1)/(x²+1)²  

x = - 1 ⇒ f(x) = 0  donc  - 1 est une solution de l'équation f(x) = 0                   donc on peut écrire :  x⁴ + 2 x² + 4 x + 1 = (x + 1)(a x³ + b x² + c x + d)

= a x⁴ + b x³ + c x² + d x  + a x³ + b x² + c x + d

= a x⁴ + (a+b) x³ + (b + c) x² + (c + d) x + d

a = 1

a+b = 0 ⇔ a = - b  ⇔ b = - 1

b + c = 2

c+d = 4  ⇔ c = 4 - 1 = 3

d = 1

donc  P(x) = x³ - x² + 3 x + 1  

Explications étape par étape