Bonsoir, je ne comprends pas cet exercice sur les logarithmes, pourriez-vous m'aider svp? ​

Réponse :

bonjour

Explications étape par étape

f(x)=xlnx -3x-1 sur ]0; +oo]

limites

a) si x tend vers 0+, xlnx tend vers 0-;   -3x tend vers 0- donc f(x) tend vers-1

b) si x tend vers +oo, xlnx tend vers +oo*+oo;    -3x tend vers -3*+oo donc f(x) tend vers +oo(+oo-3)=+oo

dérivée  f'(x)=1*lnx+x*(1/x)-3=lnx -2

f'(x)=0 si lnx=2 soit pour  x=e²

Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x) sur [10^-3;+oo[

f(10^-3)= -1+

x    10^-3                                  e²                                      +oo

f'(x)......................-.........................0..............+...........................

f(x)....-1............décroi................f(e²)...........croi.....................+oo

f(e²)=2*e²-3e²-1=-e²-1=-16(environ)

D'après le TVI on note que f(x)=0 n'admet pas de solution sur l'intervalle

[10^-3; e²].

Par contre f(x)=0 admet une et une seule solution alpha telle que f(alpha)=0 sur l'intervalle [e²;+oo[ toujours d'après le TVI.

Je ne connais pas le language Python par contre avec quelques coups de calculette on voit bien vite que 21<alpha<21,1 (encadrement)

f(21,06)=-0,002 (environ)

3)f"(x)=1/x cette dérivée est toujours >0 il n'y a pas de point d'inflexion et la courbe de f(x) est convexe. (morceau de parabole évasé.)