Voilà, petit DM de maths, que je ne comprend pas trop : Le plan (P) est ici rapporté à un repère orthonormé direct (O; u; v), unité graphique : 3 cm On considèr

Question

Mathématiques Publié : 2012-11-16 Mis à jour : 2019-11-06 Bkpl

Question

Voilà, petit DM de maths, que je ne comprend pas trop :

Le plan (P) est ici rapporté à un repère orthonormé direct (O; u; v), unité graphique : 3 cm

On considère l'application f de C \ {-2-i} dans C définie par f(z) = ((z + 1 -2i)/(z+2+i)

Question 1 : Représenter dans (P) le point A d'affixe (-3+i)

Calculer f(-3+i) et représenter dans (P) le point A' d'affixe f(-3+i)

Question 2 : Résoudre dans C l'équation f(z)=2i

Question 3 : En posant z=x iy, x appartient a R et y appartient a R, déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de f(z)

Question 4 : Détermiber et représenter dans (P) l'ensemble E1 des points M d'affixe z tels que f(z) soit réel

Déterminer et représenter dans (P) l'ensemble E2 des points M d'affixe z tels que f(z) soit imaginaire pur

Merci d'avance :)

Answer 1

f(z) = ((z + 1 -2i)/(z+2+i) donc f(3+i)=((3+i + 1 -2i)/(3+i+2+i) soit (4-i)/(5+2i)

on multiplie haut et bas par 5-2i : f(3+i)=(4-i)(5-2i)/29=(20-13i+2i²)/29=(18-13i)/29

f(z)=2i <=> (z + 1 -2i)=(2i)(z+2+i) soit (1-2i)z=2i-1+4i-2 soit z=(-3+6i)/1-2i)

là encore *(1+2i) donne (-3+6i)(1+2i)/5 soit -15/5 ou -3

Re(f(z) vaut ((x+1)(x+2)+(y-2)(y+1))/((x+2)²+(y+1)²)

Im(f(z) vaut ((y-2)(x+2)-(y+1)(x+1))/((x+2)²+(y+1)²)

f(z) réel ssi M(z) est sur la droite y-3x-5=0

f(z) est imaginaire pur ssi x²+3x+2+y²-y-2=0 soit (x+3/2)²+(y-1/2)²=10/4 cercle de centre (-3/2;1/2) rayon V10/2

Answer 2

(z) = ((z + 1 -2i)/(z+2+i)

f(3+i)=((3+i + 1 -2i)/(3+i+2+i)= (4-i)/(5+2i)

f(3+i)=(18-13i)/29

f(z)=2i= (1-2i)z=2i-1+4i-2

z=(-3+6i)/1-2i)

Re(f(z) = ((x+1)(x+2)+(y-2)(y+1))/((x+2)²+(y+1)²)

Im(f(z) = ((y-2)(x+2)-(y+1)(x+1))/((x+2)²+(y+1)²)