Bonjour, je vous sollicite aujourd'hui car j'ai énormément besoin de votre aide sur un DM sur les exponentiels et limites. Merci de votre compréhension

Réponse:

Bonjour

1) Étudions le signe de la difference des deux expressions a comparer.

-x² - ( -2x + 1) = -x² + 2x - 1 = -(x²-2x+1) = -(x-1)²

ainsi (x-1)² ≥ 0 (un carré est toujours positif ou nul)

<=> -(x-1)² ≤ 0

<=> -x² - ( -2x + 1) ≤ 0

<=> -x² ≤ -2x + 1 pour tout x > 0

la fonction exponentielle étant strictement croissante, l'ordre est conservé entre 2 nombres et leurs images

donc exp(-x²) ≤ exp(-2x+1) pour tout x > 0

2a)

-0,5e×(-2xe⁻²ˣ) =

-0,5×(-2x ) × e⁻²ˣ×e¹ =

xe⁻²ˣ⁺¹

2b)

lim (-2x) = -∞

x→+∞

lim xeˣ = 0 par croissance comparee

x→-∞

donc

lim (-2xe⁻²ˣ) = 0 par composée de fonctions.

x→+∞

lim (-0,5e×(-2xe⁻²ˣ)) = 0

x→+∞

donc

lim (xe⁻²ˣ⁺¹) = 0

x→+∞

pour x > 0, on a d'apres la question 1

xe⁻ˣ²≤ xe⁻²ˣ⁺¹

et

xe⁻ˣ² ≥0

ainsi

0 ≤ f(x) ≤ xe⁻²ˣ⁺¹

donc d'apres le théorème des gendarmes

lim f(x) = 0

x→+∞

3)

f est de la forme u×v

f'(x) = 1×e⁻ˣ² + x×(-2xe⁻ˣ²)

f'(x) = e⁻ˣ²(1-2x²)

4)

e⁻ˣ² > 0 pour tout x ≥ 0 donc f'(x) est du signe de 1-2x² pour x ≥ 0

1-2x² ≥0 <=>

1 ≥ 2x² <=>

x² ≤ ½ <=>

0 ≤ x ≤ (√2) /2

ainsi

f'(x) est positive sur [0; (√2)/2] et f est croissante sur [0; (√2)/2]

f'(x) est negative sur [(√2)/2; +∞[ et f est décroissante sur [(√2)/2; +∞[.

le tableau de variation n'est pas explicitement demandé. on pourra le dresser en y faisant apparaitre la limite calculée en 2) ainsi que la valeur du maximum f(√2/2)