Mathématiques

Question

Bonjour activité sur les inéquations

On considère un champ rectangulaire de 100m sur 80m. Soit x un nombre compris entre 0 et 80. On diminue la longueur du champ de x mètres et on augmente la largeur de x mètres. On cherche les valeurs de x pour lesquelles ces modifications conduisent à une augmentation de la surface du champ.

Question  Montrer que résoudre ce problème revient à determiner toutes les valeurs de x qui vérifient : 20x-x^2 > 0
( x^2 = x au carré)
Résoudre algébriquement l'inéquation.

Merci d'avance, j'ai déjà quelques pistes mais rien de bien concluant...

1 Réponse

  • Bonsoir,

    L'aire initiale du champ est égale à 100 * 80 = 8000 m².
    La longueur est diminuée de x ==> la nouvelle longueur est 100 - x
    La largeur est augmentée de x ==> la nouvelle largeur est 80 + x.
    L'aire (en m²) de ce champ est alors égale à (100 - x)(80 + x).

    Rechercher la valeur de x telle que l'aire initiale a augmenté revient à résoudre l'inéquation : (100 - x)(80 + x) > 8000
    soit, en développant : 
    8000 + 100x - 80x - x² > 8000
    8000 + 100x - 80x - x² - 8000 > 0
    20x - x² > 0

    Résolution algébrique de l'inéquation 20x - x² > 0.

    20x - x² > 0
    x(20 - x) > 0
    Tableau de signes de x(20 - x)
    Racines : x(20 - x) = 0
                   x = 0  ou  20 - x = 0
                   x = 0  ou  -x = -20
                   x = 0  ou  x = 20

    [tex]\begin{array}{|c|ccccc|}x&0&&20&&80 \\ x&0&+&+&+&\\ 20-x&+&+&0&-&\\x(20-x)&0&+&0&-&\\ \end{array}\\\\\\x(20-x)>0\Longleftrightarrow x\in]0;20[\\\\\boxed{S=]0;20[}[/tex]

    Par conséquent,  les valeurs de x pour lesquelles ces modifications conduisent à une augmentation de la surface du champ sont les réels appartenant à l'intervalle ]0;20[, soit les valeurs de x comprises entre 0 et 20.

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