bonjour les mathématiciens. S'il vous plaît aider moi à prouver cette équation de derivabilité (f×g)' (x) = f'(x) × g(x) + f(x) × g'(x) ​ Et merci d'avance ​

Bonjour,

J'imagine que l'on suppose f et g dérivables sur un intervalle donné, que l'on va considére IR ici

On va revenir à la définition, en remarquant que:

Prenons a un réel quelconque

Pour tout x réel différent de a

[tex]\dfrac{(fg)(x)-(fg)(a)}{x-a}=\dfrac{f(x)g(x)-g(x)f(a)+f(a)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}\\\\=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}g(x)+f(a)\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}[/tex]

Comme g est dérivable en a, elle est continue en a et en passant à la limite, on trouve que, pour tout a réel

[tex](fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)[/tex]

Merci