Bonjour, Soit les fonctions f et g définies sur |R \ {-1} par : f(x)=[tex]\frac{2x+1}{x+1}[/tex] et g(x)= f(f(x)). 2) ([tex]u_{n}[/tex] est la suite définie [te
Question
2) ([tex]u_{n}[/tex] est la suite définie [tex]u_{0}[/tex] =1 et, pour tout entier naturel n, [tex]u_{n+1}[/tex] =f([tex]u_{n} )[/tex].
3) Montrer que, pour tout entier naturel n, 1[tex]\leq u_{n} \leq u_{n+1} \leq 2[/tex]
4) Expliquer pourquoi la suite ([tex]u_{n}[/tex]) est convergente.
5) Déterminer la limite l de la suite ([tex]u_{n})[/tex]
Merci d'avance
1 Réponse
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1. Réponse croisierfamily
Réponse :
Explications étape par étape :
■ le texte n' est pas totalement clair ...
on a plutôt l' impression que x ∈ IN .
■ Uo = 1 ; U1 = 1,5 ; U2 = 5/3 ; U3 = 7/4 ;
U4 = 1,8 ; U5 = 11/6 ; U6 = 13/7 ; ...
■ la suite (Un) est donc une suite positive croissante !
■ démonstration :
f(x+1) = 2x+3 / x+2
a-t-on 2x+3 / x+2 > 2x+1 / x+1 ?
(2x+3) (x+1) > (2x+1) (x+2) ?
2x²+5x+3 > 2x²+5x+2 ?
3 > 2 vérifié !
lim f(x) pour x tendant vers l' infini = 2
donc on a bien 1 ≤ Un < Un+1 < 2 .
■ la suite (Un) est bien convergente vers 2 .
■ autre méthode pour trouver la limite à l' infini :
f(x) = [ 2(x+1) - 1 ] / (x+1) = 2 - 1/(x+1)
lim 1/(x+1) = 0+ donc lim f(x) = 2-
d' où lim Un = 2 .